Zadanie 1
Zapisz za pomocą równania zdanie: "Liczba o 4 mniejsza od liczby x jest równa 34".
x - dana liczba
x - 4 - liczba o 4 mniejsza od x
x - 4 = 34 - liczba o 4 mniejsza od x jest równa 34
Zadanie 2
Zapisz za pomocą równania zdanie: "Liczba o 7 większa od liczby x jest równa 10".
x - dana liczba
x +7 - liczba o 7 większa od x
x + 7 = 10 - Liczba o 7 większa od liczby x jest równa 10
Zadanie 3
Zapisz za pomocą równania zdanie: "Liczba 4 razy większa od liczby x jest równa 23".
x - dana liczba
4x - liczba 4 razy większa od x
4x = 23 - liczba 4 razy większa od x jest równa 23
Zadanie 4
Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 15. Wyznacz te liczby.
Rozwiązanie
x - pierwsza liczba naturalna
x + 1 - druga liczba naturalna
x + 2 - trzecia liczba naturalna
x + x + 1 + x + 2 - suma trzech kolejnych liczb naturalnych
x + x + 1 + x + 2 = 15
x + x + x = 15 - 2 - 1
3x = 12 | : 3
x = 4
x = 4 - pierwsza liczba
x + 1 = 4 + 1 = 5 - druga liczba
x + 2 = 4 + 2 = 6 - trzecia liczba
Zadanie 5
Kasia jest o 10 lat starsza od swojej siostry Ani. 5 lat temu Kasia była 2 razy starsza od Ani. Ile lat ma obecnie każda z nich?
Rozwiązanie
x wiek Ani x - 5 wiek Kasi 5 lat temu
x + 10 wiek Kasi x + 10 - 5 = x + 5 wiek Kasi 5 lat temu
Układam równanie pamiętając o tym, że Kasia 5 lat temu była 2 razy starsza od Ani.
2(x - 5) = x + 5
2x - 10 = x + 5
2x - x = 5 + 10
x = 15
Ania ma x = 15 lat.
Kasia ma x + 10 = 15 + 10 = 25 lat.
Zadanie 6
W koszu znajdują się jabłka, gruszki i brzoskwinie. Razem wszystkich owoców jest 80. Gruszek jest dwa razy więcej niż jabłek, a brzoskwiń jest o 5 więcej niż gruszek. Ile jabłek, gruszek i brzoskwiń jest w koszu?
Rozwiązanie
x - jabłka
2x - gruszki
2x + 5 - brzoskwinie
80 - liczba wszystkich owoców
Układamy równanie. Sumujemy wszystkie rodzaje owoców i przyrównujemy do 80, bo tyle ich jest.
x + 2x + 2x + 5 = 80
x + 2x + 2x = 80 - 5
5x = 75 | : 5
x = 15
Jabłek jest x = 15 sztuk.
Gruszek jest 2x = 2 · 15 = 30 sztuk.
Brzoskwiń jest 2x + 5 = 2 · 15 + 5 = 30 + 5 = 35 sztuk.
Zadanie 7
Pewna liczba dwucyfrowa ma dwa razy większą cyfrę jedności, od cyfry dziesiątek. Gdybyśmy w tej liczbie przestawili cyfry, otrzymalibyśmy wartość o 18 większą. Znajdź tą liczbę.
Rozwiązanie
Liczbę dwucyfrową zapisujemy następująco : 10x + 1y, gdzie
x - cyfra dziesiątek
y - cyfra jedności
W naszym przypadku sytuacja wygląda następująco:
x - cyfra dziesiątek
2x - cyfra jedności
10x + 2x - początkowa liczba
20x + 1x - liczba z przestawionymi cyframi
Układamy równanie. Wiemy, że liczba z przestawionymi cyframi jest o 18 większa. Musimy zatem dodać 18 do początkowej liczby (mniejszej), aby obie strony były sobie równe.
10x + 2x + 18 = 20x + x
10x + 2x - 20x - x = - 18
- 9x = - 18 | : (- 9)
x = 2
cyfra dziesiątek : x = 2
cyfra jedności : 2x = 2 · 2 = 4
Szukana liczba to 24.
Zadanie 8
Deska o długości 200 cm została złamana na dwie części. Stosunek długości pierwszej części do drugiej, wynosi 3 : 5. Oblicz długości obu części.
Rozwiązanie
x - pierwsza część deski
- druga część deski
200 cm - długość całej deski
Układamy równanie. Cała deska składa się zdwóch części. Gdy je dodamy otrzymamy całą deskę o długości 200 cm.
5x + 3x = 1000
8x = 1000 | : 8
x = 125
pierwsza część deski ma długość : x = 125 cm
druga część deski ma długość :
Zadanie 9
Dawid jest 5 razy młodszy od mamy. Suma lat Dawida i mamy wynosi 48 lat. Ile lat ma Dawid?
Rozwiązanie
x - wiek Dawida
5x - wiek mamy
x + 5x - suma wieku Dawida i mamy
48 - suma wieku Dawida i mamy
Układamy równanie.
x + 5x = 48
6x = 48 | : 6
x = 8
wiek Dawida : x = 8
wiek mamy : 5x = 5 · 8 = 40
Zadanie 10
Pitagoras zapytany, ilu ma uczniów odpowiedział: połowa studiuje matematykę, czwarta część fizykę, siódma część uczy się milczenia, ponadto mam jeszcze trzech uczniów. Ilu uczniów miał Pitagoras?
Rozwiązanie
x - liczba wszystkich uczniów
- liczba uczniów studiujących matematykę
- liczba uczniów studiujących fizykę
- liczba uczniów ucząca się milczenia
3 - pozostali uczniowie
Układam równanie.
14x + 7x + 4x + 84 = 28x
14x + 7x + 4x - 28x = - 84
- 3x = - 84 | : (- 3)
x = 28
Zdanie 11
Suma trzech liczb wynosi 44. Znajdź te liczby, jeżeli wiadomo, że druga jest 3 razy większa od pierwszej, a trzecia jest o 2 większa od drugiej.
Rozwiązanie
x - pierwsza liczba
3x - druga liczba
3x + 2 - trzecia liczba
x + 3x + 3x + 2 - suma trzech liczb
44 - suma trzech liczba
Układamy równanie.
x + 3x + 3x + 2 = 44
x + 3x + 3x = 44 - 2
7x = 42 | : 7
x = 6
pierwsza liczba : x = 6
druga liczba : 3x = 3 · 6 = 18
trzecia liczba : 3x + 2 = 3 · 6 + 2 = 18 + 2 = 20
Zadanie 12
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych jest dwa razy większy od drugiego. Oblicz miary tych kątów.
Rozwiązanie
- miara pierwszego kąta
- miara drugiego kąta
- miara trzeciego kąta
Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi 
.
Układamy równanie.
+ 2 + 90° = 180°
3 =180° - 90°
3 = 90° | : 3
= 30°
miara pierwszego kąta ostrego : = 30°
miara drugiego kąta ostrego : 2 = 2 · 30° = 60º
Zadanie 13
Działka ma kształt prostokąta, którego dłuższy bok ma o 15 m więcej niż krótszy, a obwód ma 70 m. Znajdź boki tej działki.
Rozwiązanie
x - długość krótszego boku
x + 15 - długość drugiego boku
70m - obwód działki
x + x + 15 + x + x + 15 - obwód działki ( obwód prostokąta równy jest sumie jego boków).
Układamy równanie.
4x + 30 = 70
4x = 70 - 30
4x = 40 | : 4
x = 10
długość krótszego boku : x = 10m
długość dłuższego boku : x + 15 = 10 + 15 = 25m
Zadanie 14
Średnia zarobków Wojtka za ostatni kwartał wyniosła 1800 zł. Ile Wojtek zarobił w grudniu, jeśli w październiku zarobił 1630 zł, a w listopadzie 2120 zł.
Rozwiązanie
x - zarobki Wojtka w grudniu
1630 zł + 2120 zł + x zł - zarobki Wojtka w ciągu kwartału
(kwartał = 3 miesiące)
1800 zł - średnia zarobków Wojtka
- średnia zarobków Wojtka w kwartale
(skorzystałam ze wzoru na średnią arytmetyczną)
Układam równanie.
1630 + 2120 + x = 5400
x = 5400 - 1630 - 2120
x = 1650
W grudniu Wojtek zarobił 1650 zł.
Zadanie 15
Ojciec ma 45 lat, a synowie 10 i 8 lat. Po ilu latach ojciec będzie miał tyle lat, co obaj synowie razem?
Rozwiązanie
wiek ojca obecnie - 45 wiek ojca za x lat - 45 + x
wiek starszego syna - 10 wiek starszego syna za x lat - 10 + x
wiek młodszego syna - 8 wiek młodszego syna 8 + x
x - po ilu latach ojciec będzie miał tyle samo lat co synowie razem
Układamy równanie. Wiemy, że suma lat synów ma być równa wiekowi ojca po x latach.
10 + x + 8 + x = 45 + x
x + x - x = 45 - 10 - 8
x = 27
Po 27 latach ojciec będzie miał tyle lat ile synowie razem.
Zadanie 16
W pewnej liczbie dwucyfrowej cyfra jedności jest o 2 większa od cyfry dziesiątek. Jeżeli od tej liczby odejmiemy potrojoną cyfrę dziesiątek, to otrzymamy 34. Znajdź tę liczbę.
Rozwiązanie
Liczbę dwucyfrową zapisujemy następująco : 10x + 1y, gdzie
x - cyfra dziesiątek
y - cyfra jedności
W naszym przypadku sytuacja wygląda następująco:
x - cyfra dziesiątek
x + 2 - cyfra jedności
10x + (x + 2) - szukana liczba dwucyfrowa
3x - potrojona cyfra dziesiątek
10x + x + 2 - 3x - od szukanej liczby dwucyfrowej odejmujemy potrojoną cyfrę dziesiątek
34 - wynik po odjęciu od liczby dwucyfrowej potrojonej cyfry dziesiątek
Układamy równanie.
10x + x + 2 - 3x = 34
10x + x - 3x = 34 - 2
8x = 32 | : 8
x = 4
cyfra dziesiątek : x = 4
cyfra jedności : x + 2 = 4 + 2 = 6
szukana liczba : 46
Zadanie 17
Turysta w ciągu 3 dni przejechał 684 km. Pierwszego dnia przejechał 2 razy więcej niż drugiego, a trzeciego o 20% mniej niż drugiego. Ile km przejechał trzeciego dnia?
Rozwiązanie
x - liczba kilometrów pokonana drugiego dnia
2x - liczba kilometrów pokonana pierwszego dnia
x - 20%x - liczba kilometrów przebyta trzeciego dnia
684 - łączna liczba kilometrów przebytych w ciągu I, II i III dnia
Układamy równanie sumując trasy pokonane I, II i III dnia i przyrównując je do całej trasy czyli 684 km.
x + 2x + x - 20%x = 684
Zamieniam % na liczbę.
x + 2x + x - 0,2x = 684
3,8x = 684 | : 3,8
x = 180
pierwszego dnia turysta przeszedł : x = 180 km
drugiego dnia turysta przeszedł : 2x = 2 · 180 = 360 km
trzeciego dnia turysta przeszedł : x - 20%x = 180 - 20% · 80 =
= 180 - 36 = 144 km