Przykład 1
Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykres ma wierzchołek w punkcie W = (1, - 9) i zawiera punkt (2, - 8). Zapisz ten wzór w postaci ogólnej.
Rozwiązanie
Znamy współrzędne wierzchołka funkcji W = (1, - 9), więc skorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną.
y = a(x - p)2 + q
W naszym przypadku p = 1, q = - 9. Podstawiamy dane do wzoru.
y = a(x - 1)2 - 9
Szukamy jeszcze wartości a, którą obliczymy podstawiając do wzoru współrzędne punktu (2, - 8).
x = 2, y = - 8
y = a(x - 1)2 - 9
- 8 = a(2 - 1)2 - 9
- 8 = a · 1 - 9
- 8 = a - 9
- 8 + 9 = a
a = 1
Podaję wzór funkcji w postaci kanonicznej.
y = 1(x - 1)2 - 9
y = (x - 1)2 - 9
Przekształcam wzór na postać ogólną.
y = (x - 1)2 - 9
y = (x2 - 2x + 1) - 9
y = x2 - 2x + 1 - 9
y = x2 - 2x - 8
Przykład 2
Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe wynoszą - 4 oraz 5 i jej wykres przechodzi przez punkt A = (2, 8).
Rozwiązanie
Znamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej, więc skorzystamy ze wzoru na postać iloczynową.
y = a(x - x1)(x - x2)
Podstawiam x1 = - 4 oraz x2 = 5.
y = a(x + 4)(x - 5)
Aby wyznaczyć wartość a, podstawiam do wzoru współrzędne punktu A = (2, 8).
y = a(x + 4)(x - 5)
x = 2 oraz y = 8
8 = a(2 + 4)(2 - 5)
8 = a · 6 · (- 3)
8 = - 18a |: -18
Podstawiam a i podaję wzór funkcji w postaci iloczynowej.
Przykład 3
Znajdź wzór funkcji w postaci ogólnej korzystając z rysunku.
Rozwiązanie
Odczytujemy dane z rysunku. Skorzystam z postaci kanonicznej, więc odczytuję, że wierzchołek funkcji to W = (3, - 6).
Podstawiam p = 3 a q = - 6.
y = a(x - p)2 + q
y = a(x - 3)2 - 6
Odczytuję dowlny punkt należący do wykresu funkcji np. (0, 3).
x = 0, y = 3
y = a(x - 3)2 - 6
3 = a(0 - 3)2 - 6
3 = a · (-3)2 - 6
3 = a · 9 - 6
3 + 6 = 9a
9 = 9a |:9
a = 1
Podaję wzór funkcji w postaci kanonicznej:
y = 1(x - 3)2 - 6
y = (x - 3)2 - 6
Zamieniam postać kanoniczną na ogólną.
y = (x - 3)2 - 6
y = x2 - 6x + 9 - 6
y = x2 - 6x + 3
Przykład 4
Znajdź wzór funkcji w postaci ogólnej korzystając z rysunku.
Rozwiązanie
Odczytuję z rysunku miejsca zerowe funkcji. Są dwa, więc funkcję mogę zapisać w postaci iloczynowej.
y = a(x - x1)(x - x2)
Podstawiam x1 = 2 oraz x2 = 5
y = a(x - 2)(x - 5)
Odczytuję współrzędne dowolnego punktu należącego do wykresu funkcji np. (1, 8) i podstawiam je do wzoru, aby wyznaczyć a.
y = a(x - 2)(x - 5)
x = 1 oraz y = 8
8 = a(1 - 2)(1 - 5)
8 = a · (-1) · (-4)
8 = a · 4
8 = 4a |:4
a = 2
Podaję wzór funkcji w postaci iloczynowej.
y = 2(x - 2)(x - 5)
Przekształcam wzór na postać ogólną.
y = 2(x - 2)(x - 5)
y = 2(x2 - 5x - 2x + 10)
y = 2(x2 - 7x + 10)
y = 2x2 - 14x + 20