Przykład 1
Rozwiąż nierówność x2 > 25.
Rozwiązanie
x2 > 25
x2 - 25 > 0
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a - b)(a + b) = a2 - b2
(x - 5)(x + 5) > 0
Wyznaczamy miejsca zerowe.
x - 5 = 0 lub x + 5 = 0
x1 = 5 lub x2 = - 5
Zaznaczamy liczby 5 oraz - 5 na osi liczbowej i rysujemy parabolę. Odczytujemy rozwiązanie.
x 
Przykład 2
Rozwiąż nierówność x2 
25.
Rozwiązanie
Przenoszę wszystkie wyrazy na lewą stronę.
x2 - 25 0
Korzystam ze wzoru na różnicę kwadratów a2 – b2 = (a - b)(a + b).
(x - 5)(x + 5) 0
Przyrównuję oba nawiasy do 0.
x - 5 = 0 lub x + 5 = 0
x = 5 lub x = - 5
Sporządzam przybliżony wykres funkcji kwadratowej.
- zaznaczam miejsca zerowe x1 = 5 oraz x2 = - 5
- ramiona paraboli są skierowane do góry, a = 1
x < - 5, 5 >
Przykład 3
Rozwiąż nierówność x2 < 9.
Rozwiązanie
x2 < 9
Przenoszę wszystkie wyrazy na lewą stronę.
x2 - 9 < 0
Zauważam, że po lewej stronie jest wzór skróconego mnożenia, różnica kwadratów : a2 - b2 = (a - b)(a + b).
(x - 3)(x + 3) < 0
Przyrównuję oba nawiasy do 0 i wyznaczam miejsca zerowe.
x - 3 = 0 lub x + 3 = 0
x = 3 lub x = - 3
Rysuję przybliżony wykres funkcji.
- zaznaczam miejsca zerowe x1 = 3 oraz x2 = - 3
- ramiona paraboli są skierowane do góry, bo a = 1
x ( - 3, 3 )
Przykład 4
Rozwiąż nierówność x2 - 4 3x.
Rozwiązanie
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę.
x2 - 4 3x
x2 - 4 - 3x 0
Porządkujemy wyrażenia (od najwyższej potęgi).
x2 - 3x - 4 0
Wyznaczamy deltę.
a = 1, b = - 3, c = - 4
= b2 - 4ac
= (- 3)2 - 4 · 1 · (- 4)
= 9 + 16
= 25
Delta jest dodatnia, mamy więc dwa miejsca zerowe.
x1 = - 1 lub x2 = 4
Zaznaczamy miejsca zerowe na osi liczbowej i odczytujemy rozwiązanie.
x <1, 4>
Przykład 5
Rozwiąż nierówność x(x - 4) > 0
Rozwiązanie
Mamy iloczyn więc przyrównujemy x oraz x - 4 do zera.
x = 0 lub x - 4 = 0
x = 0 lub x = 4
Szkicuję wykres funkcji.
- zaznaczam miejsca zerowe x1 = 0 oraz x2 = 4
- ramiona paraboli są skierowane do góry, bo a = 1
x 
Przykład 6
Rozwiąż nierówność - 3x2 + 3x 
0
Rozwiązanie
Wyłączam x przed nawias.
x(- 3x + 3) 0
Przyrównuję x oraz - 3x + 3 do zera.
x = 0 lub - 3x + 3 = 0
x = 0 lub - 3x = - 3 |: (- 3)
x = 0 lub x = 1
Sporządzam wykres funkcji.
- zaznaczam miejsca zerowe x1 = 0 oraz x2 = 1
- ramiona paraboli będą skierowane do dołu, gdyż a = - 3
x < 0, 1 >
Przykład 7
Rozwiąż nierówność 6x2 - x > 12.
Rozwiązanie
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę.
6x2 - x - 12 > 0
Wyznaczamy deltę.
a = 6, b = - 1, c = - 12
= b2 - 4ac
= (- 1)2 - 4 · 6 · (-12)
= 1 + 288
= 289
Delta jest dodatnia, więc są dwa miejsca zerowe. Wyznaczamy je.
Zaznaczamy miejsca zerowe na osi liczbowej, rysujemy parabolę i odczytujemy rozwiązanie.
x 
Przykład 8
Rozwiąż nierówność x2 - 2x + 4 0.
Rozwiązanie
Wyrażenie jest uporządkowane, wyznaczamy deltę.
x2 - 2x + 4 0
a = 1, b = - 2, c = 4
= b2 - 4ac
= (- 2)2 - 4 · 1 · 4
= 4 - 16
= - 12
Delta jest ujemna, więc nie ma miejsc zerowych. Wiemy, że a = 1, więc jest dodatnie. Rysujemy zatem parabolę o ramionach skierowanych do góry powyżej osi liczbowej. Odczytujemy rozwiązanie.
brak rozwiązań
Przykład 9
Rozwiąż nierówność x2 - 8x + 16 > 0.
Rozwiązanie
Wyznaczam deltę.
x2 - 8x + 16 > 0
a = 1, b = - 8, c = 16
= b2 - 4ac
= (- 8)2 - 4 · 1 · 16
= 64 - 64
= 0
Delta jest równa 0. Mamy zatem jedno miejsce zerowe, wyznaczamy je.
x0 = 4
Rysujemy schematyczny wykres, zaznaczamy miejsce zerowe i odczytujemy rozwiązanie.
x R \ {4}
Przykład 10
Rozwiąż nierówność x2 - 2x + 4 0.
Rozwiązanie
Wyznaczamy deltę.
x2 - 2x + 4 0
a = 1, b = - 2, c = 4
= b2 - 4ac
= (- 2)2 - 4 · 1 · 4
= 4 - 16
= - 12
Delta jest ujemna, nie ma miejsc zerowych. Odczytujemy, że a = 1, więc wykres funkcji ma ramiona skierowane do góry i znajduje się nad osią liczbową. Odczytujemy rozwiązanie.
x R
Przykład 11
Rozwiąż nierówność – (x - 7)2 
2x + 1.
Rozwiązanie
Doprowadzam wyrażenie po lewej stronie do prostszej postaci.
- (x2 - 14x + 49) 2x + 1
- x2 + 14x - 49 2x + 1
Przenoszę wszystkie wyrazy na lewą stronę.
- x2 + 14x - 49 - 2x - 1 0
Redukuję wyrazy podobne i porządkuję wyrażenie od najwyższej potęgi.
- x2 + 12x - 50 0
Wyznaczam deltę.
a = - 1, b = 12, c = - 50
= b2 - 4ac
= (12)2 - 4 · (-1) · (-50)
= 144 - 200
= - 56
Skoro delta jest ujemna wiemy, że nie ma miejsc zerowych.
Patrzymy zatem na a, a = - 2, więc wiemy, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Rysujemy przybliżony wykres i odczytujemy rozwiązanie.
brak rozwiązań
Przykład 12
Rozwiąż nierówność 4x2 - 20x + 25 > 0.
Rozwiązanie
Najwygodniej będzie zauważyć, że po lewej stronie mamy wzór skróconego mnożenia a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.
4x2 - 20x + 25 > 0
(2x - 5 )2 > 0
Wyznaczam miejsce zerowe.
(2x - 5)2 = 0
2x - 5 = 0
2x = 5 | : 2
x = 2,5
Rysujemy przybliżony wykres.
- miejsce zerowe wynosi 2,5
- ramiona będą skierowane do góry, bo a = 4
X R \ {2,5}
Przykład 13
Rozwiąż nierówność (x - 3)(x + 2) 2x(x - 2) - 2x.
Rozwiązanie
Doprowadzam lewą i prawą stronę do prostszej postaci.
(x - 3)(x + 2) 2x(x - 2) - 2x
x2 + 2x - 3x - 6 2x2 - 4x - 2x
Przenoszę wszystkie wyrazy na lewą stronę.
x2 + 2x - 3x - 6 - 2x2 + 4x + 2x 0
Redukuję wyrażenia podobne.
- x2 + 5x - 6 0
Wyznaczamy deltę.
a = - 1, b = 5, c = - 6
= b2 - 4ac
= 52 - 4 · (-1) · (-6)
= 25 - 24
= 1
Wyznaczam miejsca zerowe.
x1 = 3 lub x2 = 2
Rysuję przybliżony wykres.
- miejsca zerowe to x1 =3 oraz x2 = 2
- ramiona paraboli są skierowane do dołu, bo a = - 1
x <2, 3 >
|
|