Równania wymierne to takie, które mają przynajmniej jedno wyrażenie wymierne.
Bardzo często wykorzystujemy w ich rozwiązywaniu metodę „na krzyż”:
Należy pamiętać o tym, że przed wymnożeniem „na krzyż” musimy mieć tylko po jednym wyrażeniu po prawej i po jednej stronie.
UWAGA! Oczywiście zanim zaczniecie wykonywać jakiekolwiek działania musicie wyznaczyć dziedzinę.
Przykład 1
Oblicz 
.
Rozwiązanie
Wyznaczam dziedzinę.
x - 1 
0
x 1
D : R \ {1}
Rozwiązuję równanie.
x + 2 = 0
x = - 2
Liczba - 2 należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem tego równania.
Przykład 2
Oblicz 
.
Rozwiązanie
Wyznaczam dziedzinę.
x - 1 0
x 1
D : R \ {1}
Rozwiązuję równanie.
3 · 1 = 4(x - 1)
3 = 4x - 4
- 4x = - 4 - 3
- 4x = - 7 | : (- 4)
Liczba należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem tego równania.
Przykład 3
Oblicz 
.
Rozwiązanie
Wyznaczam dziedzinę.
x + 2 0
x - 2
D : R \ {- 2}
Rozwiązuję równanie.
3(x + 1) = 4(x + 2)
3x + 3 = 4x + 8
3x - 4x = 8 - 3
- x = 5 | : (- 1)
x = - 5
Liczba - 5 należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem tego równania.
Przykład 4
Oblicz 
.
Rozwiązanie
Wyznaczam dziedzinę.
x - 7 0
x 7
D : R \ {7}
Rozwiązuję równanie.
1(2x + 1) = 4(x - 7)
2x + 1 = 4x - 28
2x - 4x = - 28 - 1
- 2x = - 29 | : (- 2)
Liczba należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem tego równania.
Przykład 5
Oblicz 
.
Rozwiązanie
Wyznaczam dziedzinę.
x - 2 0
x 2
D : R \ {2}
Rozwiązuję równanie.
2 · 1 = (x - 1)(x - 2)
2 = x2 - 2x - x + 2
2 - x2 + 2x + x - 2 = 0
- x2 + 3x = 0
x(- x + 3) = 0
x = 0 lub – x + 3 = 0
x = 0 lub – x = - 3 | : (- 1)
x = 0 lub x = 3
Obie liczby x = 0 oraz x = 3 należą do dziedziny, więc to równanie posiada dwa rozwiązania.
Przykład 6
Oblicz 
.
Rozwiązanie
Wyznaczam dziedzinę.
x 0, 2x + 1 0
x 0, 2x - 1 | : 2
x 0, x 
D : R \ {, 0}
Rozwiązuję równanie.
(x + 1)(2x + 1) = x(x + 1)
2x2 + x + 2x + 1 = x2 + x
2x2 + 3x + 1 - x2 - x = 0
x2 + 2x + 1 = 0
a = 1, b = 2, c = 1
= b2 - 4ac
= 22 - 4 · 1 · 1
= 4 - 4
= 0
x = - 1
Liczba - 1 należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem tego równania.
Przykład 7
Oblicz 
.
Rozwiązanie
Wyznaczam dziedzinę.
2x2 + 1 0
W tym przypadku dziedziną będzie zbiór liczb rzeczywistych, gdyż w mianowniku zawsze otrzymamy liczbę różną od 0.
D : R
Rozwiązuję równanie.
1(x2 + 8) = 3(2x2 + 1)
x2 + 8 = 6x2 + 3
x2 + 8 - 6x2 - 3 = 0
- 5x2 + 5 = 0 | : (- 5)
x2 - 1 = 0
(x - 1)(x + 1) = 0
x - 1 = 0 lub x + 1 = 0
x = 1 lub x = - 1
Obie liczby x = 1 oraz x = - 1 należą do dziedziny, więc to równanie posiada dwa rozwiązania.