facebook youtube   

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Wzór ogólny ciągu geometrycznego wygląda następująco:

 

 an = a1 · q n - 1

 

Przykład 1

Wyznacz n - ty wyraz ciągu geometrycznego, gdy a1 = 25, oraz  n = 7.

Rozwiązanie

Szukamy n - tego wyrazu czyli an, ale wiemy, że n = 7, więc tak naprawdę interesuje nas a7.

an = a1 · q n-1

 

a7 = a1 · q 7-1

 

a7 = a1 · q6

 

Podstawiamy dane.

a7 = 25 · ()6

 

a7 = 52 · (5 - 1)6

 

a7 = 52 · 5 - 6

 

a7 = 52 + (- 6)

 

a7 = 52 - 6

 

a7 = 5 - 4

 

a7 = ()4

 

a7 =

 

Przykład 2

Wyznacz n - ty wyraz ciągu, gdy jego pierwszy wyraz wynosi 5, iloraz q =  i n = 9.

Rozwiązanie

Szukamy dziewiątego wyrazu ciągu, bo n = 9.

 

an = a1 · qn-1

 

a9 = a1 · q9 - 1

 

a9 = a1 · q8

 

Podstawiamy dane a1 = 5 oraz q =

 

a9 = 5 · ()8

 

a9 = 5 · 16

 

a9 = 80

 

Przykład 3

Podaj pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, gdy a8 = 81 oraz q = 3.

Rozwiązanie

Wypiszmy dane i szukane.

 

a8 = 81   oraz    q = 3

 

a1 = ?

a1 · q7 = a8

 

a1 · 37 = 81

 

a1 · 37= 3 | :37

 

a1 =

 

a1 = 3-3

 

a1 =

 

Przykład 4

Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego o wyrazach początkowych równych 128, 64, 32…

Podaj czwarty wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Odczytujemy, że a1 = 128 oraz a2 = 64, więc możemy wyznaczyć   różnicę q.

 

a1 · q = a2

 

128q = 64  | : 128

 

q =

 

q =

 

Wyznaczam ogólny wzór ciągu dla a1 = 128 oraz q = .

 

an = a1 · qn-1

 

an = 128 · ()n-1

 

an = 27 · (2-1)n-1

 

an = 27 · 2-n+1

 

an = 27 + (- n) +1

 

an = 27 - n + 1

 

an = 2 8 - n

 

Wyznaczam wyraz czwarty.

an = 28 - n

 

a4 = 28 - 4

 

a4 = 24

 

a4 = 16

 

Przykład 5

Podaj szósty wyraz ciągu geometrycznego oraz jego wzór ogólny, gdy cztery jego kolejne wyrazy to , 3, -3, 9 ...

Rozwiązanie

Znamy a1 oraz a2, więc wyznaczymy q.

 

a1 =

 

a2 = 3

 

q =

 

q =

 

q =

 

Wyznaczam ogólny wzór ciągu.

 

an = a1 · qn-1

 

a1 =     oraz    q =

 

an = · ()n - 1

 

an = ()1 · ()n · ()-1

 

an = ()1 + n + (- 1)

 

an = ()1 + n - 1

 

an = ()n

 

Wyznaczam szósty wyraz ciągu.

an = ()n

a6 = ()6

a6 = 27