facebook youtube   

Suma ciągu geometrycznego

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie q 0 wyraża się wzorem :

 

 

Przykład 1

Wyznacz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego 2, 4, 8, 16…

Rozwiązanie

Poszukujemy sumy, więc korzystamy ze wzoru :

 

 

 

Wyznaczam iloraz ciągu.

a1 = 2

 

a2 = 4

 

 

Podstawiam do wzoru na sumę q = 2 oraz a1 = 2.

 

 

 

 

 

 

Przykład 2

Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, gdy S4 = 60 oraz        q = 2.

Rozwiązanie

Znamy sumę, więc skorzystamy ze wzoru :

 

 

Wypiszmy dane.

a1 = ?

S4 = 60

n = 4

q = 2

Podstawiamy dane do wzoru.

 

        

 

 

 

60 = a1 · 15  | : 15

 

a1 = 4       

 

Przykład 3

W pewnym ciągu geometrycznym a1 = 5 oraz q = 2. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy zsumować, aby otrzymać 635?

Rozwiązanie

Wypisuję dane i szukane.

Sn = 635

a1 = 5

q = 2

n = ?

Podstawiam dane do wzoru na sumę.

 

 

 

 

 

-127 = 1 - 2

 

- 127 - 1 = - 2n

 

-128 = - 2n  | : (-1)

 

128 = 2n

 

2n = 128

 

2n = 27

 

n = 7

 

Należy zsumować siedem wyrazów tego ciągu, aby otrzymać 635.

 

Przykład 4

Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, gdy q = 2 oraz suma pięciu pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi 775.

Rozwiązanie

Wypisuję dane i szukane.

S5 = 775

q = 2

a1 = ?

Znam sumę, więc skorzystam ze wzoru .

 

 

 

 

 

 

775 = a1 · 31   | : 31

 

25 = a1

 

a1 = 25

 

Pierwszy wyraz tego ciągu wynosi 25.