facebook youtube   

Metoda przeciwnych współczynników

Zanim przejdziemy do tej metody powtórzmy czym są liczby przeciwne.

Liczby przeciwne to liczby o przeciwnych znakach (jedna z liczb jest dodatnia a druga ujemna).

 

liczba przeciwna do 4 to - 4

liczba przeciwna do 8 to - 8

liczba przeciwna do - 3 to 3

liczba przeciwna do to -

liczba przeciwna do - 0,3 to 0,3

 

W metodzie przeciwnych współczynników mnożymy/dzielimy dowolne równanie/równania przez takie liczby, aby otrzymać liczby przeciwne.

 

 

Przykład 1

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników.

 

 

Rozwiązanie

W pierwszym kroku wymnażam pierwsze równanie przez -1.

 

 

 

Otrzymałam przy niewiadomej y przeciwne współczynniki (w pierwszym równaniu mam – y a w drugim y).

Dodaję równania stronami.

 

- x - y + 5x + y = - 6 - 2

 

Redukuję wyrazy podobne i wyznaczam x.

 

- x + 5x = - 6 - 2

 

4x = - 8  | : 4

 

x = - 2

 

 

Wybieram dowolne równanie (x + y = 6) i w miejsce x podstawiam     - 2. Obliczam y.

 

x + y = 6

 

- 2 + y = 6

 

y = 6 + 2

 

y = 8

Wyznaczyłam x oraz y, więc wiemy, że jest to układ równań oznaczony, którego rozwiązaniem jest para liczb .

 

 

 

 

Przykład 2

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników.

 

 

Rozwiązanie

Wymnażam pierwsze równanie przez 3 a drugie przez 5.

 

 

 

Otrzymuję liczby przeciwne przy niewiadomej x ( mamy 30 i - 30). Dodaję równania stronami.

 

30x + 9y - 30x + 25y = - 33 + 135

 

Redukuję wyrazy podobne i obliczam y.

 

9y + 25y = - 33 + 135

 

34y = 102  | : 34

 

y = 3

 

Wybieram dowolne równanie (10x + 3y = - 11) i w miejsce y podstawiam liczbę 3. Dzięki temu wyznaczam x.

 

10x + 3y = - 11

 

10x + 3 · 3 = - 11

 

10x + 9 = - 11

 

10x = - 11 - 9

 

10x = - 20  | : 10

 

x = - 2

 

Wyznaczyłam x oraz y, więc wiemy, że jest to układ równań oznaczony, którego rozwiązaniem jest para liczb .

 

Przykład 3

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników.

 

 

Rozwiązanie

Pierwsze równanie wymnażam przez (- 3).

 

 

 

Otrzymałam liczby przeciwne przy niewiadomej x (mamy - 6 oraz 6) i y (mamy 3 i - 3). Dodaję równania stronami.

 

- 6x + 3y + 6x - 3y = - 9 + 9

 

Redukuję wyrazy podobne.

 

0 = 0

 

Otrzymaliśmy równość prawdziwą, wszystkie niewiadome zniknęły, więc jest to układ równań nieoznaczony, który ma nieskończenie wiele rozwiązań.

 

Przykład 4

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników.

 

 

Rozwiązanie

Wymnażam pierwsze równanie przez 2.

 

 

 

Otrzymałam liczby przeciwne przy niewiadomej x(mamy 4 i - 4) oraz y (mamy - 6 i 6). Dodaję równania stronami.

 

4x - 6y - 4x + 6y = 10 + 10

 

0 = 20

 

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne , więc układ równań jest sprzeczny, nie posiada rozwiązań.