Przykład 1

Rozwiąż nierówność 7x + 2 > 5x + 6. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.

Rozwiązanie

7x + 2 > 5x + 6

Przenoszę wyrazy z x na lewą stronę a liczby na prawą.

7x - 5x > 6 - 2

Redukuję wyrażenia podobne.

2x > 4 

Dzielę obie strony przez liczbę stojącą przy x czyli 2 .

Liczba 2 jest dodatnia, więc znaku nierówności nie zmieniam.

2x > 4    | : 2

x > 2

Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.

Odczytuję rozwiązanie nierówności.

x

 

Przykład 2

Rozwiąż nierówność 3x – 4 > 5x + 12. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.

Rozwiązanie

3x – 4 > 5x + 12

Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.

3x - 5x > 12 + 4

Redukuję wyrażenia podobne.

- 2x > 16

Dzielę obie strony przez liczbę stojącą przy x czyli - 2 .

Liczba - 2 jest ujemna, więc zmieniam znak nierówności z > na <.

- 2x > 16    | : (- 2)

x < - 8

 

Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.

Odczytuję rozwiązanie nierówności.

x

 

Przykład 3

Rozwiąż nierówność 2(x + 4) - 35 3x - 2(x + 6). Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.

Rozwiązanie

2(x + 4) - 35 3x - 2(x + 6)

Wymnażam pierwszy nawias przez liczbę 2 a drugi przez - 2.

2x + 8 - 35 3x - 2x - 12

Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.

2x - 3x + 2x - 12 - 8 + 35

Redukuję wyrażenia podobne.

1x   15

x 15

Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.

Odczytuję rozwiązanie nierówności.

x

 

Przykład 4

Rozwiąż nierówność - 5(x - 1) - (x + 2) 3(x + 1) + 4. Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.

Rozwiązanie

- 5(x - 1) - (x + 2) 3(x + 1) + 4

Wykonuję działania, aby pozbyć się nawiasów.

- 5x + 5 - x - 2 3x + 3 + 4

Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.

- 5x - x - 3x 3 + 4 - 5 + 2

Redukuję wyrażenia podobne.

- 9x 4

Dzielę obie strony przez liczbę stojącą przy x czyli - 9 . Liczba - 9 jest ujemna, więc zmieniam znak nierówności z  na  .

- 9x 4    | : (- 9)

Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.

Odczytuję rozwiązanie nierówności.

x

 

Przykład 5

Rozwiąż nierówność  . Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.

Rozwiązanie

 

Mnożę obie strony nierówności przez 4, aby pozbyć się mianowników.

 

 

 

 

2x + 2x - 1 > 8

 

Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.

 

2x + 2x > 8 + 1

 

Redukuję wyrażenia podobne.

4x > 9

 

Dzielę obie strony przez 4. Liczba 4 jest dodatnia, więc nie zmieniam znaku nierówności.

 

4x > 9    |: 4

 

 

Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.

Odczytuję rozwiązanie.

x

 

Przykład 6

Rozwiąż nierówność  . Zaznacz jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisz je w postaci przedziału liczbowego.

Rozwiązanie

 

 

Mnożę obie strony nierówności przez liczbę 6.

 

 

 

 

3(x + 3) - 2(2x + 5) 12x + 3(4x - 1)

 

Opuszczam nawiasy wykonując odpowiednie działania.

 

3x + 9 - 4x - 10 12x + 12x - 3

 

Przenoszę wyrażenia z x na lewą stronę a liczby na prawą.

 

3x - 4x - 12x - 12x - 3 + 10 - 9

 

Redukuję wyrażenia podobne.

 

- 25x - 2

 

Dzielę obie strony nierówności przez - 25. Zmieniam znak nierówności.

 

- 25x - 2    | : (- 25)

 

 

 

Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.

 

 

Odczytuję rozwiązanie.

x

 

Przykład 7 (matura maj 2013 r.)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest :

a) - 2

b) - 1

c) 0

d) 1

Rozwiązanie

 

Wymnażam obie strony nierówności przez 12.

 

 

 

 

6x 4 · 2x + 3

 

6x 8x + 3

 

Przenoszę wyrazy z x na lewą a liczby na prawą stronę.

 

6x - 8x 3

 

Redukuję wyrazy podobne.

- 2x 3

 

Dzielę obie strony nierówności przez - 2.

 

- 2x 3   | : (- 2)

 

 

 

Zaznaczam rozwiązanie na osi liczbowej.

Nanoszę na oś liczbową liczby podane w poleceniu i sprawdzam, która z liczb należących do przedziału jest najmniejsza.

 

Najmniejszą liczbą spełniającą tą nierówność jest - 1. Poprawna jest odpowiedź b.

 

Przykład 8 ( matura próbna marzec 2012 r.)

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność

(4+x)² < (x - 4)(x + 4) jest :

a) - 5

b) - 4

c) - 3

d) - 2

Rozwiązanie

Wykorzystuję dwa wzory skróconego mnożenia.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)(a + b) = a² - b²

(4 + x)² < (x - 4)(x + 4)

16 + 8x + x² < x² - 16

Przenoszę wyrazy z x na lewą stronę a liczby na prawą.

8x + x² - x² < - 16 - 16

Redukuję wyrazy podobne.

8x < - 32

Obie strony nierówności dzielę przez 8.

8x < - 32    |: 8

x < - 4

Zaznaczam na osi liczbowej przedział x < - 4.

Nanoszę liczby podane w poleceniu i wybieram tą, która jest największa i jednocześnie należy do przedziału liczbowego.

Poprawna to odpowiedź a.

 

Przykład 9 (matura sierpień 2013r.)

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3 - x) > x

Rozwiązanie

Rozwiązujemy nierówność.

2 (3 - x) > x

6 - 2x > x

- 2x - x > - 6

- 3x > - 6   | : (- 3)

x < 2

Poprawną jest odpowiedź d.

 

 

 

 

 

 

• « Wstęp (nierówności liniowe)