Przykład 1
Wiemy, że punkt A = (2, 4) należy do prostej f(x) = (m + 1)x - 4. Wyznacz wartość parametru m.
Rozwiązanie
Znamy punkt A = (2, 4), więc wiemy, że x = 2 oraz y = 4.
Podstawiamy dane do wzoru funkcji i obliczamy m.
f(x) = y
y = (m + 1)x - 4
4 = (m + 1) · 2 - 4
4 = 2m + 2 - 4
4 = 2m - 2
4 + 2 = 2m
6 = 2 m |: 2
3 = m
m = 3
Przykład 2
Dla jakiego parametru m funkcja y = (m - 3)x + 4 jest rosnąca?
Rozwiązanie
Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest większy od 0.
y = (m - 3)x + 4
a = m - 3
a > 0
m - 3 > 0
m > 3
Dla parametru m > 3 funkcja będzie rosnąca.
Przykład 3
Dla jakiego parametru m funkcja y = (2m - 5)x - 2 jest malejąca?
Rozwiązanie
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest mniejszy od 0.
y = (2m - 5)x - 2
a = 2m - 5
a < 0
2m - 5 < 0
2m < 5 |: 2
m < 2,5
Funkcja jest malejąca dla parametru m < 2,5.
Przykład 4
Dla jakiego parametru m funkcja y = (m + 4)x + 3 jest stała?
Rozwiązanie
Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy wynosi 0.
y = (m + 4)x + 3
a = m + 4
a = 0
m + 4 = 0
m = - 4
Funkcja jest stała dla parametru m = - 4.
Przykład 5
Dla jakiego parametru , funkcja y = (m2 - 1)x + 6 jest malejąca?
Rozwiązanie
Funkcja jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest mniejszy
od 0.
y = (m2 - 1)x + 6
a = m2 - 1
a < 0
m2 - 1 < 0
(m - 1)(m + 1) < 0
m 
(-1, 1)
Funkcja jest malejąca dla parametru m 
(-1, 1).
Przykład 6
O prostej y = 3x + (2m + 2) wiadomo, że przecina oś OY w punkcie (0, 1). Wyznacz parametr m.
Rozwiązanie
Skoro do wykresu funkcji należy punkt (0, 1) to wiemy, że x = 0 oraz y = 1. Podstawiamy te dane do wzoru i wyznaczamy m.
y = 3x + (2m + 2)
1 = 3 · 0 + (2m + 2)
1 = 0 + 2m + 2
- 2m = 0 + 2 - 1
- 2m = 1 |: (- 2)
m = - 0,5
Przykład 7
Liczba 4 jest miejscem zerowym funkcji y = (2m - 3)x + 6. Wyznacz wartość parametru m.
Rozwiązanie
Skoro znamy miejsce zerowe, to wiemy, że do wykresu funkcji należy punkt (4, 0). Możemy odczytać, że x = 4 oraz y = 0 i te dane podstawiamy do wzoru funkcji.
y = (2m - 3)x + 6
0 = (2m - 3) · 4 + 6
0 = 8m - 12 + 6
- 8m = - 12 + 6
- 8m = - 6 |: (- 8)
Przykład 8
Proste k: y = 3x + 4 oraz l: y = (2m + 1)x + 2 są prostopadłe. Oblicz wartość parametru m.
Rozwiązanie
k: y = 3 x + 4
współczynnik kierunkowy prostej k : 3
l: y = (2m + 1) x + 2
współczynnik kierunkowy prostej l : 2m + 1
Aby proste były prostopadłe iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy - 1.
3 · (2m + 1) = - 1
6m + 3 = - 1
6m = - 1 - 3
6m = - 4 |: 6
Przykład 9
Proste k: y = 4x - 1 i l: y = (5m - 1)x - 6 są równoległe. Wyznacz wartość parametru m.
Rozwiązanie
k: y = 4 x - 1
współczynnik kierunkowy prostej k : 4
l: y = (5m - 1) x - 6
współczynnik kierunkowy prostej l : 5m - 1
Proste są równoległe, gdy mają te same współczynniki kierunkowe.
a1 = a2
4 = 5m - 1
- 5m = - 1 - 4
- 5m = - 5 |: (- 5)
m = 1
Przykład 1
Wiemy, że punkt A = (2, 4) należy do prostej f(x) = (m + 1)x - 4. Wyznacz wartość parametru m.
Rozwiązanie
Znamy punkt A = (2, 4), więc wiemy, że x = 2 oraz y = 4.
Podstawiamy dane do wzoru funkcji i obliczamy m.
f(x) = y
y = (m + 1)x - 4
4 = (m + 1) · 2 - 4
4 = 2m + 2 - 4
4 = 2m - 2
4 + 2 = 2m
6 = 2 m |: 2
3 = m
m = 3
Przykład 2
Dla jakiego parametru m funkcja y = (m - 3)x + 4 jest rosnąca?
Rozwiązanie
Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest większy od 0.
y = (m - 3)x + 4
a = m - 3
a > 0
m - 3 > 0
m > 3
Dla parametru m > 3 funkcja będzie rosnąca.
Przykład 3
Dla jakiego parametru m funkcja y = (2m - 5)x - 2 jest malejąca?
Rozwiązanie
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest mniejszy od 0.
y = (2m - 5)x - 2
a = 2m - 5
a < 0
2m - 5 < 0
2m < 5 |: 2
m < 2,5
Funkcja jest malejąca dla parametru m < 2,5.
Przykład 4
Dla jakiego parametru m funkcja y = (m + 4)x + 3 jest stała?
Rozwiązanie
Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy wynosi 0.
y = (m + 4)x + 3
a = m + 4
a = 0
m + 4 = 0
m = - 4
Funkcja jest stała dla parametru m = - 4.
Przykład 5
Dla jakiego parametru , funkcja y = (m2 - 1)x + 6 jest malejąca?
Rozwiązanie
Funkcja jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest mniejszy
od 0.
y = (m2 - 1)x + 6
a = m2 - 1
a < 0
m2 - 1 < 0
(m - 1)(m + 1) < 0
m (-1, 1)
Funkcja jest malejąca dla parametru m (-1, 1).
Przykład 6
O prostej y = 3x + (2m + 2) wiadomo, że przecina oś OY w punkcie (0, 1). Wyznacz parametr m.
Rozwiązanie
Skoro do wykresu funkcji należy punkt (0, 1) to wiemy, że x = 0 oraz y = 1. Podstawiamy te dane do wzoru i wyznaczamy m.
y = 3x + (2m + 2)
1 = 3 · 0 + (2m + 2)
1 = 0 + 2m + 2
- 2m = 0 + 2 - 1
- 2m = 1 |: (- 2)
m = - 0,5
Przykład 7
Liczba 4 jest miejscem zerowym funkcji y = (2m - 3)x + 6. Wyznacz wartość parametru m.
Rozwiązanie
Skoro znamy miejsce zerowe, to wiemy, że do wykresu funkcji należy punkt (4, 0). Możemy odczytać, że x = 4 oraz y = 0 i te dane podstawiamy do wzoru funkcji.
y = (2m - 3)x + 6
0 = (2m - 3) · 4 + 6
0 = 8m - 12 + 6
- 8m = - 12 + 6
- 8m = - 6 |: (- 8)
Przykład 8
Proste k: y = 3x + 4 oraz l: y = (2m + 1)x + 2 są prostopadłe. Oblicz wartość parametru m.
Rozwiązanie
k: y = 3 x + 4
współczynnik kierunkowy prostej k : 3
l: y = (2m + 1) x + 2
współczynnik kierunkowy prostej l : 2m + 1
Aby proste były prostopadłe iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy - 1.
3 · (2m + 1) = - 1
6m + 3 = - 1
6m = - 1 - 3
6m = - 4 |: 6
Przykład 9
Proste k: y = 4x - 1 i l: y = (5m - 1)x - 6 są równoległe. Wyznacz wartość parametru m.
Rozwiązanie
k: y = 4 x - 1
współczynnik kierunkowy prostej k : 4
l: y = (5m - 1) x - 6
współczynnik kierunkowy prostej l : 5m - 1
Proste są równoległe, gdy mają te same współczynniki kierunkowe.
a1 = a2
4 = 5m - 1
- 5m = - 1 - 4
- 5m = - 5 |: (- 5)
m = 1