Ciąg liczbowy nazywamy rosnącym, gdy każdy wyraz tego ciągu, za wyjątkiem pierwszego, jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego.

a_n+1 > a_n    (czyli a_n+1 - a_n >0)

 

Ciąg liczbowy nazywamy malejącym, gdy każdy wyraz tego ciągu, za wyjątkiem pierwszego, jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego.

 

a_n+1 < a_n     (czyli a_n+1 - a_n < 0)

 

Ciąg nazywamy stałym, gdy wszystkie wyrazy tego ciągu są równe.

a_n = a_{n+1   (czyli an+1 - an = 0)}

 

Przykład 1

Sprawdź monotoniczność ciągu a_n = n² + 2n.

Rozwiązanie

Wyznaczam a_n+1.

a_n = n² + 2n

a_n+1 = (n + 1)² + 2(n + 1)

a_n+1 = n² + 2n + 1 + 2n + 2

a_n+1 = n² + 4n + 3

Wyznaczam różnicę a_n+1 - a_n.

a_n+1 - a_n = n² + 4n + 3 - (n² + 2n)

a_n+1 - a_n = n² + 4n + 3 - n² - 2n

a_n+1 - a_n = 2n + 3

Zauważcie, że 2n + 3 > 0 dla każdej liczby naturalnej większej od 1, więc ciąg jest rosnący.

 

Przykład 2

Sprawdź monotoniczność ciągu a_n = - 3n + 8.

Rozwiązanie

Wyznaczam a_n+1.

a_n = - 3n + 8

a_n+1 = - 3(n + 1) + 8

a_n+1 = - 3n - 3 + 8

a_n+1 = - 3n + 5

 Wyznaczam różnicę a_n + 1 - a_n.

a_n+1 - a_n = - 3n + 5 - (- 3n + 8)

a_n+1 - a_n = - 3n + 5 + 3n - 8

a_n+1 - a_n = - 3

Otrzymaliśmy liczbę ujemną, więc ciąg jest malejący.

• « Wyznaczanie an+1