facebook youtube   

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego wygląda następująco:

an = a1 + (n - 1)r

a1 - pierwszy wyraz ciągu

n – numer wyrazu w ciągu

r – różnica ciągu

 

 

Przykład 1

Oblicz czwarty wyraz ciągu arytmetycznego o wzorze an = 5n - 4.

Rozwiązanie

Szukamy wyrazu czwartego czyli a4, zatem podstawiamy w miejsce n liczbę 4.

an = 5n - 4

a4 = 5 · 4 - 4

a4 = 20 - 4

a4 = 16

Czwarty wyraz tego ciągu wynosi 16.

 

Przykład 2

Podaj wyraz pierwszy, drugi oraz różnicę ciągu arytmetycznego 3, 7, 11, 15, 19, 23.

Rozwiązanie

3, 7, 11, 15, 19, 23

a1 = 3

a2 = 7

a2 - a1 = r

a2 - a1 = 7 - 3 = 4, więc r = 4

 

Przykład 3

Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego o wyrazach równych  5, 10, 15, 20, 25.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć wzór ciągu skorzystamy ze wzoru ogólnego na ciąg czyli an = a1 + (n - 1)r .

 

5, 10, 15, 20, 25

 

a1 = 5 oraz r = 5 ( bo a2 - a1 = 10 - 5 = 5)

 

Podstawiamy do wzoru a1 = 5 i r = 5.

an = a1 + (n - 1)r

an = 5 + (n - 1) · 5

an = 5 + 5n - 5

an = 5n

Wzór tego ciągu to an = 5n.

 

Przykład 4

Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego o wyrazach równych 2, 11, 20, 29.

Rozwiązanie

2, 11, 20, 29

Odczytujemy pierwszy wyraz ciągu.

2, 11, 20, 29

a1 = 2

Odczytujemy drugi wyraz ciągu, a2 = 11 i obliczamy różnicę r.

r = a2 - a1

r = 11 - 2

r = 9

Podstawiamy a1 = 2 oraz r = 9  do wzoru ogólnego na ciąg.    

an = a1 + (n - 1)r

an = 2 + (n - 1) · 9

an = 2 + 9n - 9

an = 9n - 7

Wzór tego ciąguto an = 9n - 7.

 

Przykład 5

W ciągu arytmetycznym a1 = 1 oraz a5 = 13. Wyznacz dziesiąty wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Zobaczmy najpierw czego szukamy. Zapiszmy a10.

an = a1 + (n - 1)r

a10 = a1 + (10 - 1)r

a10 = a1 + 9r

Wiemy, że a1 = 1.

a10 = 1 + 9r

Jeżeli wyznaczymy różnicę r to obliczymy wyraz dziesiąty.

Znamy wyrazy a1 = 1 oraz a5 = 13, możemy zapisać następujący wniosek :

a1 + 4r = a5

1 + 4r = 13

4r = 13 - 1

4r = 12  |:4

r = 3

 

Znamy różnicę , więc obliczymy a10.

 

a10 = 1 + 9r

a10 = 1 + 9 · 3

a10 = 1 + 27

a10 = 28

 

Przykład 6

Wyznacz wzór ciągu arytmetycznego, gdy a5 = 12 oraz a8 = 18.

Rozwiązanie

Aby podać wzór ciągu arytmetycznego musi znać jego pierwszy wyraz oraz różnicę.

Obliczam a1.

a5 + 3r = a8

12 + 3r = 18

3r = 18 - 12

3r = 6  | : 3

r = 2

 

Obliczam pierwszy wyraz ciągu, znając r = 2 oraz a5 = 12.

a1 + 4r = a5

a1 + 4 · 2 = 12

a1 + 8 = 12

a1 = 4

 

Wyznaczam wzór ciągu an = a1 + (n - 1)r.

an = a1 + (n - 1)r

an = 4 + (n - 1) · 2

an = 4 + 2n - 2

an = 2n + 2

Wzór tego ciągu to an = 2n + 2.

 

Przykład 7

Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego o wyrazach 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

Naszkicuj wykres tego ciągu i podaj równanie prostej, w której się on zawiera.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć wzór ciągu arytmetycznego musimy znać pierwszy wyraz oraz różnicę.

Pierwszy wyraz to a1 = 1.

Obliczam różnicę ciągu.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...

a2 - a1 = 2 - 1 = 1, więc r = 1

Wyznaczam wzór ogólny ciągu.

an = a1 + (n - 1)r

an = 1 + (n - 1) · 1

an = 1 + n - 1

an = n

Rysuję wykres ciągu.

Wykres tego ciągu zawiera się w prostej y = x.