facebook youtube   

Równania wielomianowe

Przykład 1

Rozwiąż równanie (x + 3)(x - 1)(x - 5) = 0 i podaj krotność pierwiastków.

Rozwiązanie

 

Przykład 2

Rozwiąż równanie (x + 3)2(x - 1)(x + 4) = 0 i podaj krotność pierwiastków.

Rozwiązanie

(x + 3)2(x - 1)(x + 4) = 0

x + 3 = 0 lub x - 1 = 0 lub x + 4 = 0

x = - 3 lub x = 1 lub x = - 4

                 

To równanie posiada trzy rozwiązania x1 = - 3 (pierwiastek dwukrotny), x2 = 1 (jednokrotny), x3 = - 4 (jednokrotny).

 

Przykład 3

Rozwiąż równanie x2 - 36 = 0 i podaj krotność pierwiastków.

Rozwiązanie

x2 - 36 = 0

Rozkładam lewą stronę wykorzystując wzór skróconego mnożenia

a2 - b2 - a2 = (a - b)(a + b).

 

x2 - 36 = 0

(x - 6)(x + 6) = 0

 

Przyrównuję oba nawiasy do zera.

 

x - 6 = 0 lub x + 6 = 0

x = 6 lub x = - 6

 

Równanie posiada dwa rozwiązania x1 = 6 (pierwiastek jednokrotny), x2 = - 6 (jednokrotny).

 

Przykład 4

Rozwiąż równanie 9x2 - 6x + 1 = 0  i podaj krotność pierwiastków.

Rozwiązanie

9x2 - 6x + 1 = 0 

 

Korzystam ze wzoru skróconego mnożenia a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.

 

9x2 - 6x + 1 = 0 

(3x - 1)2 = 0

 

Przyrównuję nawias do zera.

 

3x - 1 = 0.

3x = 1   |:3

x =

 

To równanie posiada jedno rozwiązanie x = (pierwiastek dwukrotny).

 

Przykład 5

Rozwiąż równanie x4 - 3x3 - 4x2 = 0  i podaj krotność pierwiastków.

Rozwiązanie

x4 - 3x3 - 4x2 = 0 

Wyłączam x2 przed nawias.

 

x2(x2 - 3x - 4) = 0

x2 = 0 lub x2 - 3x - 4 = 0

x = 0    lub  = 9 - 4 · 1 · (- 4)

      = 9 + 16

= 25

      = 5

 

                              

 

                         

 

To równanie posiada trzy rozwiązania x1 = 0 (pierwiastek dwukrotny), x2 = - 1 (jednokrotny), x3 = 4 (jednokrotny).

 

Przykład 6

Rozwiąż równanie 2x3 - 4x2 - 5x + 10 = 0  i podaj krotność pierwiastków.

Rozwiązanie

2x3 - 4x2 - 5x + 10 = 0 

 

Rozkładam lewą stronę wykorzystując grupowanie wyrazów.

Z pierwszych dwóch wyrazów wyłączam 2x2, z dwóch ostatnich – 5.

 

2x2(x - 2) - 5(x - 2) = 0

(2x2 - 5)(x - 2) = 0

 

Mamy iloczyn dwóch nawiasów, więc każdy z nich przyrównujemy do 0 i obliczamy rozwiązania.

 

2x2 - 5 = 0 lub x - 2 = 0

2x2 = 5 lub x = 2

                                    x2 = 2,5  lub x = 2

x =    lub   x =    lub  x = 2

 

Równanie posiada trzy rozwiązania x1 = , x2 = , x3 = 2. Są to pierwiastki jednokrotne.

 

Przykład 7

Rozwiąż równanie 2x3 - 7x2 - 8x + 28 = 0 i podaj krotność pierwiastków.

Rozwiązanie

2x3 - 7x2 - 8x + 28 = 0

 

Rozkładam lewą stronę stosując grupowanie wyrazów.

Z pierwszych dwóch wyrazów wyłączam x2, z dwóch ostatnich - 4.

 

x2(2x - 7) - 4(2x - 7) = 0

 

Pierwszy nawias można rozłożyć korzystając ze wzoru skróconego mnożenia a2 - b2 = (a - b)(a + b).

 

(x2 - 4)(2x - 7) = 0

(x - 2)(x + 2)(2x - 7) = 0

 

Mamy iloczyn trzech nawiasów, więc każdy przyrównujemy do 0 i wyznaczamy rozwiązania.

 

x - 2 = 0 lub x + 2 = 0 lub 2x - 7 = 0

x = 2   lub   x = - 2   lub   2x = 7

x = 2   lub   x = - 2  lub  x = 3,5

 

To równanie posiada trzy rozwiązania jednokrotne x1 = 2 lub x2 = - 2 lub x3 = 3,5.

 

Przykład 8

Rozwiąż równanie x5 - x = 0 i podaj krotność pierwiastków.

Rozwiązanie

x5 - x = 0

Wyłączam x przed nawias.

 

x(x4 - 1) = 0

 

Wyrażenie w nawiasie rozkładam stosując wzór skróconego mnożenia a2 - b2 = (a - b)(a + b).

 

x(x2 - 1)(x2 + 1) = 0

 

Wyrażenie w pierwszym nawiasie można jeszcze raz rozłożyć korzystając z tego samego wzoru.

 

x(x - 1)(x + 1)(x2 + 1) = 0

 

Otrzymaliśmy iloczyn, wiec możemy wszystko przyrównać do 0.

 

x = 0 lub x - 1 = 0 lub x + 1 = 0 lub x2 + 1 = 0

x = 0   lub   x = 1   lub x = - 1

 

To równanie posiada trzy rozwiązania x1 = 0 lub x2 = 1 lub x3 = - 1. Są to rozwiązania jednokrotne.

 

Przykład 9

Rozwiąż równanie x3 + 3x2 = 4x + 12  i podaj krotność pierwiastków.

Rozwiązanie

Przenoszę wszystkie wyrazy na lewą stronę.

 

x3 + 3x2 = 4x + 12 

x3 + 3x2 - 4x - 12 = 0

 

Grupuję wyrazy.

Z dwóch pierwszych wyłączam x2 a dwóch ostatnich - 4.

 

x2(x + 3) - 4(x + 3) = 0

 

W pierwszym nawiasie mamy wzór skróconego mnożenia

a2 - b2 = (a - b)(a + b).

 

(x2 - 4)(x + 3) = 0

 

Mamy iloczyn trzech nawiasów, więc każdy przyrównujemy do 0.

 

(x - 2)(x + 2)(x + 3) = 0

x - 2 = 0   lub   x + 2 = 0   lub   x + 3 = 0

x = 2   lub   x = - 2   lub   x = - 3

 

Równanie posiada trzy jednokrotne rozwiązania x1 = 2 lub x2 = - 2 lub x3 = - 3.