Przykład 1
Rozwiąż nierówność (x - 5)(x + 2)(x + 4) < 0.
Rozwiązanie
Wyznaczam miejsca zerowe wielomianu i sprawdzam ich krotność.
Rysujemy wykres tego wielomianu.
Zaznaczam pierwiastki na osi liczbowej ( kółeczka będą otwarte, bo mamy znak <).
Rysuję wykres od prawej strony. Zaczynam od góry, gdyż liczba przy najwyższej potędze iksa (x3) jest dodatnia.
Zaznaczam część poniżej osi x.
x 
(- 
, - 4) 
(- 2, 5)
Przykład 2
Rozwiąż nierówność x3 - 4x > 0.
Rozwiązanie
Wyznaczam miejsca zerowe wielomianu i sprawdzam ich krotność.
x3 - 4x > 0
x(x2 - 4) > 0
x(x - 2)(x + 2) > 0
Rysujemy wykres tego wielomianu.
Zaznaczam pierwiastki na osi liczbowej.
Rysuję wykres od prawej strony. Zaczynam od góry, gdyż liczba przy najwyższej potędze iksa (x3) jest dodatnia.
Zaznaczam część powyżej osi x.
x (- 2, 0) (2, )
Przykład 3
Rozwiąż nierówność (x + 1)(x - 1)2 
0.
Rozwiązanie
Wyznaczam miejsca zerowe wielomianu i sprawdzam ich krotność.
Rysujemy wykres tego wielomianu.
Zaznaczam pierwiastki na osi liczbowej.
Rysuję wykres od prawej strony. Zaczynam od góry, gdyż liczba przy najwyższej potędze iksa (x3) jest dodatnia.
Na x = 1 będzie odbicie, gdyż jest to pierwiastek parzystokrotny (dwukrotny).
Zaznaczam część powyżej osi x.
x <- 1, )
Przykład 4
Rozwiąż nierówność (x + 1)(2 - x)(x + 4) < 0.
Rozwiązanie
(x + 1)(2 - x)(x + 4) < 0
x = - 1, x = 2, x = - 4
Sprawdzam krotność pierwiastków. W tym przykładzie wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc nie będzie odbicia.
Rysujemy wykres tego wielomianu.
Zaznaczam pierwiastki na osi liczbowej.
Rysuję wykres od prawej strony. Zaczynam od dołu, gdyż liczba przy najwyższej potędze iksa (- x3) jest ujemna.
Zaznaczam część poniżej osi x.
x (- 4, - 1) (2, )
Przykład 5
Rozwiąż nierówność x5 - x < 0.
Rozwiązanie
x5 - x < 0
x(x4 - 1) < 0
x(x2 - 1)(x2 + 1) < 0
x(x - 1)(x + 1)(x2 + 1) < 0
x = 0, x = 1, x = - 1
Sprawdzam krotność pierwiastków. W tym przykładzie wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc nie będzie odbicia.
Rysujemy wykres tego wielomianu.
Zaznaczam pierwiastki na osi liczbowej.
Rysuję wykres od prawej strony. Zaczynam od góry, gdyż liczba przy najwyższej potędze iksa (x5) jest dodatnia.
Zaznaczam część poniżej osi x.
x (- , - 1) (0, 1)
Przykład 6
Rozwiąż nierówność (x - 3)(x2 - x - 2) 
0
Rozwiązanie
(x - 3)(x2 - x - 2) 0
x = 3 , x2 - x - 2 = 0
= 1 - 4 · 2 · (- 2)
= 1 + 8
= 9
Mamy trzy miejsca zerowe x1 = - 1, x2 = 2 oraz x3 = 3.
Sprawdzam krotność pierwiastków. W tym przykładzie wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc nie będzie odbicia.
Rysujemy wykres tego wielomianu.
Zaznaczam pierwiastki na osi liczbowej.
Rysuję wykres od prawej strony. Zaczynam od góry, gdyż liczba przy najwyższej potędze iksa (x3) jest dodatnia.
Zaznaczam część poniżej osi x.
x (- , - 1> <2, 3>
Przykład 7
Rozwiąż nierówność (x2 - 7x + 12)(x2 - 16) > 0.
Rozwiązanie
Pierwszy nawias rozkładamy na czynniki obliczając deltę a następnie zapisując wyrażenie w postaci iloczynowej funkcji kwadratowej.
(x2 - 7x + 12)(x2 - 16) > 0
= (- 7)2 - 4 · 1 · 12
= 49 - 48
= 1
Drugi nawias rozpisujemy wykorzystując wzór skróconego mnożenia a2 - b2=(a - b)(a + b).
(x - 3)(x - 4)(x - 4)(x + 4) > 0
(x - 3)(x - 4)2(x + 4) > 0
Sprawdzam krotność pierwiastków. W tym przykładzie :
x = 3 jest pierwiastkiem jednokrotnym
x = 4 jest pierwiastkiem dwukrotnym (odbicie)
x = - 4 jest pierwiastkiem jednokrotnym
Rysujemy wykres tego wielomianu.
Zaznaczam pierwiastki na osi liczbowej.
Rysuję wykres od prawej strony. Zaczynam od góry, gdyż liczba przy najwyższej potędze iksa (x4) jest dodatnia.
Zaznaczam część powyżej osi x.
x (- , - 4) (3, 4) (4, )
Przykład 8
Rozwiąż nierówność (x + 1)2(x - 1) 0.
Rozwiązanie
(x + 1)2(x - 1) 0
x1= - 1, x2 = 1
Sprawdzam krotność pierwiastków. W tym przykładzie :
x = - 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym (odbicie)
x = 1 jest pierwiastkiem jednokrotnym
Rysujemy wykres tego wielomianu.
Zaznaczam pierwiastki na osi liczbowej.
Rysuję wykres od prawej strony. Zaczynam od góry, gdyż liczba przy najwyższej potędze iksa (x3) jest dodatnia.
Zaznaczam część poniżej osi x.
x (- , 1>